1.3 CALCULO DE LA MEDIA MEDIANA Y MODA
Medidas de tendencia central:
La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de tendencia central se conocen como medidas de posición.
Media
La media es el punto en una distribución de medidas, alrededor del cual las desviaciones sumadas son iguales a cero. Es el valor promedio de una muestra o población. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estén balanceadas en ambos lados. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:
- Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
Mediana
Observación u observación potencial en un conjunto que divide el conjunto, de modo que el mismo número de observaciones estén en cada uno de sus lados. Para un número impar de valores, es el valor de en medio; para un número par es el promedio de los dos medios. Para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.
Ejemplo:
Calcule la mediana para los siguientes datos.
La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.
Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.
Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.
La mediana es 21.
La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:
Mediana = LRI + [(n/2 - FA)/f] c
donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.
MODA
La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.
Ejemplo:
las calificaciones de un examen de diez estudiantes son:
81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87.
Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81
La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.
Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo.
Ejemplo de cálculo de media mediana y moda. Para ejemplificar, tomaremos el ejemplo de autobuses foráneos de la pagina 6.
Clase
|
Intervalo
|
LRI
|
LRS
|
Frec. Absoluta
|
Frec. Relat
|
Frec. Porcentual
|
X
|
fx
| |
LI
|
LS
| ||||||||
1
|
1
|
2.9
|
0.95
|
2.95
|
8
|
.16
|
16 %
|
1.95
|
15.60
|
2
|
3
|
4.9
|
2.95
|
4.95
|
11
|
.22
|
22 %
|
3.95
|
43.45
|
3
|
5
|
6.9
|
4.95
|
6.95
|
10
|
.20
|
20 %
|
5.95
|
59.50
|
4
|
7
|
8.9
|
6.95
|
8.95
|
10
|
.20
|
20 %
|
7.95
|
79.50
|
5
|
9
|
10.9
|
8.95
|
10.95
|
5
|
.10
|
10 %
|
9.95
|
49.75
|
6
|
11
|
12.9
|
10.95
|
12.95
|
6
|
.12
|
12 %
|
11.95
|
71.70
|
total
|
50
|
1
|
100 %
|
319.50
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- CÁLCULO DE VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN.
Medidas de dispersión: Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos
Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
Desviación estándar: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media de la muestra
Continuando con el caso de los autobuses foráneos, se realizará el ejemplo de medidas de dispersión.
Clase
|
Intervalo
|
LRI
|
LRS
|
Frec. Absoluta
|
Frec. Relat
|
Frec. Porcentual
|
X
|
fx
|
f(x-x)2
| |
LI
|
LS
| |||||||||
1
|
1
|
2.9
|
0.95
|
2.95
|
8
|
.16
|
16 %
|
1.95
|
15.60
|
157.71
|
2
|
3
|
4.9
|
2.95
|
4.95
|
11
|
.22
|
22 %
|
3.95
|
43.45
|
171.63
|
3
|
5
|
6.9
|
4.95
|
6.95
|
10
|
.20
|
20 %
|
5.95
|
59.50
|
354.03
|
4
|
7
|
8.9
|
6.95
|
8.95
|
10
|
.20
|
20 %
|
7.95
|
79.50
|
632.03
|
5
|
9
|
10.9
|
8.95
|
10.95
|
5
|
.10
|
10 %
|
9.95
|
49.75
|
495.01
|
6
|
11
|
12.9
|
10.95
|
12.95
|
6
|
.12
|
12 %
|
11.95
|
71.70
|
856.82
|
total
|
50
|
1
|
100 %
|
319.50
|
2667.21
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